數學王子-高斯

2016/02/23
數學王子-高斯
今天是數學王子-高斯逝世紀念日,一起來目睹數學家的風采吧!

  歷史上間或出現神童,神童常常出現在數學、音樂、棋藝等方面,而卡爾.弗雷德里希.高斯這位數學神童,是各式各樣天才裡最出色的一個。如同獅子號稱萬獸之王,高斯在數學家之林中稱王,他有一個美號——數學王子。高斯不僅被公認為是19世紀最偉大的數學家,更與阿基米德、牛頓並稱為歷史上三個最偉大的數學家。現在,阿基米德和牛頓的名字早已進入了中學的教科書,他們的成就或多或少成為大眾常識,而高斯和他的數學仍遙不可及,甚至於大學的基礎課程中也很少出現。但高斯的肖像畫卻赫然印在10馬克——流通最廣泛的德國紙幣上,直到2002年馬克被歐元取代。

  1777 年4月30日,高斯出生在漢諾威公國(今下薩克森州)的布朗斯威克市郊外(現屬市區)。當時德意志民族仍未統一,除了漢諾威,尚有奧地利、普魯士、巴伐利亞等邦國。在高斯的祖先裡,沒有一個人可以說明為什麼會誕生高斯這樣偉大的天才;他的父親是個普通的勞動者,做過石匠、縴夫、花農,母親是他父親的第二個妻子,做過女僕,沒受過什麼教育。她甚至忘了獨生兒子高斯的生日,只記得是星期三,耶穌升天節(The Feast of the Ascension)前8天,高斯後來自己把它推算出來。但高斯的母親聰明善良,富有幽默感,並且個性很堅強,最後以97歲高齡仙逝。

  據說,高斯2歲時就發現父親賬簿上的一處錯誤;9歲那年,他在公立小學念書,一次老師為了讓學生們有事情做,讓他們把從1到100這些整數加起來,高斯幾乎立刻就把寫好結果的石板,面朝下放在自己的課桌上。當所有的石板都被翻開之後,這位老師驚訝地發現只有高斯得出了正確答案:5050,但是沒有任何演算過程。事實上,高斯已經在腦子裡對這個算術級數求了和,他注意到了1+100=101、2+99=101、3+98=101⋯⋯等等50對數,從而答案是50×101或5050。高斯在晚年常幽默地宣稱,在他會說話之前就會計算,還說他問了大人字母如何發音,就自己學著讀起書來。

  高斯的早熟引起了布朗斯威克公爵費迪南(Charles II William Ferdinand)的注意,這位公爵的名字也叫卡爾,是個熱心腸且始終如一的贊助人。高斯14歲進卡洛琳學院(Collegium Carolinum,現為BraunschweigUniversity of Technology,即布朗斯威克技術大學),18歲入哥廷根大學(University of Göttingen)。當時的哥廷根大學仍默默無聞,事實上,它創辦不到60年,由於高斯的到來,才使得這所日後享譽世界的大學變得重要起來。起初,高斯在成為語言學家抑或數學家之間猶豫不決,他決心獻身數學是 1796年3月30日的事了。當他差一個月滿19歲時,他對正多邊形的歐幾里德作圖理論(只用圓規和沒有刻度的直尺)做出了驚人的貢獻,發現了它與費馬質數之間的祕密關係。最特別的,他提出了作正十七邊形的方法,這是一個有著2,000多年歷史的數學懸案。

  那一年,可謂是高斯奇蹟年,就在他發現正十七邊形作圖理論 9天以後,即4月8日,他發展了同餘理論,首次證明了二次互反律,這樣就徹底解決了二次同餘方程的可解性判斷問題。5月31日,高斯提出了後人稱為質數定理的猜想,亦即不超過 x 的質數個數為x / logx,這個猜想直到100年後才被證明;又過了50年,兩個用初等方法證明它的其中一人,因此獲得了菲爾茲獎。7月10日,高斯證明了費馬提出的三角形數猜想。10月1日,他發表了有限域裡一個多項式方程解數問題的研究,導致一個半世紀後法國數學家韋伊(André Weil)提出了他的著名猜想……

|文章節錄:《難以企及的人物:數學天空的閃爍群星》/華滋出版
|圖片來源:停止流通的德國馬克,鈔面上為高斯像

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